美国人说π=3.2，还把它写进了法案

发布时间：2023-03-14 13:53:13 所属栏目：外闻来源：

导读：π绝对是数学界的顶流了。有人给它过节（就是今天），有人为它写歌，1897年，美国印第安纳州的一项法案还曾试图更改它的价值，一度成为坊间笑谈。

事情的起因是这样的，印第安纳州有个医生叫爱德华·古德

π绝对是数学界的顶流了。有人给它过节（就是今天），有人为它写歌，1897年，美国印第安纳州的一项法案还曾试图更改它的价值，一度成为坊间笑谈。

事情的起因是这样的，印第安纳州有个医生叫爱德华·古德温（Edward J. Goodwin），这些人喜欢在业余时间研究数学。古德温的数学之路起点颇高，瞄准的是古希腊三大难题之一的“化圆为方”，他苦心钻研十几载终于搞出了一个理论，但这个理论漏洞百出，还有一个很大的副作用：在这套理论下算出来的 π=3.2。

古德温对自己的理论信心爆棚，他通过一位参议员提交了议案，表示发现了一项新的数学原理，为了支持教育事业，我们要立法承认它的真实性，以后这个数学原理就能在本州免费使用啦。这就是大名鼎鼎的 246号法案，又称“ 圆周率法案（Indiana Pi Bill）” ，法案中愤怒地谴责了当时使用的π值“在实际应用中存在漏洞且具有误导性”，强调了3.2的正统地位。

蒲丰（Buffon）是一位法国数学家。1777年的一天，蒲丰邀请朋友们到家里做客，他在白纸上随意画了一条条等距离的平行线，然后请朋友们把随身携带的一些针头长度只有一个平行线间距一半的针随意扔在白色的纸上。结果，在2122次投掷中，与平行线相交了704次。蒲丰算出2212÷704≈3.142，并宣布这就是圆周率π的近似值，而且投的次数越多越精确。这就是著名的蒲丰投针问题，是一种通过概率方法来解决复杂计算的妙招。这个故事告诉我们，不要小看任何一个小小的数字，它背后蕴含着无穷的奥秘。只要我们用心观察，就会发现生活中处处充满着数学知识。

证明这个问题也很简单，只要具备简单的三角函数和积分知识，就可以算出，忽略针的宽度，针与平行线相交的概率p为：

其中，h是平行线间距，l是针长。当针长是平行线间距的一半时，概率p的倒数恰好就是圆周率的值。

但是，真如蒲丰所说，投的次数越多越精确，人类为什么要穷精皓首地尝试用各种方法计算圆周率呢？尤其是有了大型计算机之后，直接模拟扔针不就好了吗。先不说计算机只能产生伪随机数的问题，如果我们真的动手开始扔针操作，很可能会被精度问题虐到哭。

其实，历史上愿意去尝试这个问题的大有人在，然而从他们的计算结果中（下表）可以看到，结果并不精确。即使投掷了5000次，连小数点后两位都算不准，这是为什么呢？

原因就在于，他们不够“幸运”，试验结果精度的提高，除了与试验次数有关，还要受到方差的影响。方差越大，要提高精度，就需要付出更大的工作量。经典的蒲丰投针问题中，投针次数每增加约100倍，结果的精度才提高1位（见下表）。那么如果他要精度达到小数点后7位，至少需要投掷10^14次，这大概需要三百多万年了，就是愚公来了也算不出啊。

于是数学家考虑，增加一个维度，是否可以提高结果的精度呢？改进型的投针问题出现了，如果把地上的平行线改成方格，那么结果还和圆周率有关吗？

好消息是：公式仍与圆周率有关，而且方差也减小了，针与平行线相交的概率p变为：

坏消息是：精度只提高了大不到一位。要算出密率，保守估计也要一百万年。

也许有人认为，我们可以把格子画得更多，用更多的针同时投下去，岂不是提高了投针的效率。但有位大牛却说：“格子多点可以，但投针太麻烦了。”他沿着格子的轮廓画了一个圆。细心的读者可以发现，这时如果下起雨来，那么打在圆内方格的雨点数量，和打在圆外接正方形的雨点数量之比，就是圆和外接正方形的面积比（π/4）。在一个边长100米的正方形里，画出边长一厘米的方格，假设每平方米每秒落下1000滴雨，那么大约下四个多月的雨咱们就能看到结果了。

事实上，这个数雨滴的方法还有一个响亮的名字，叫做蒙特卡洛法（Monte Carlo method）。这个方法可不是叫蒙特卡洛的人提出的，而是著名数学家冯·诺伊曼用赌城蒙特卡洛命名的，所以这个方法的精髓就是蒙（随机数）。蒙特卡洛法可以通过重复简单步骤的方法，化整为零来计算复杂的问题。而我们之前提到的蒲丰投针问题，就被认为是蒙特卡洛法的起源之一。

其实，很多科学和工程上的问题，都是利用这一方法解决的。对于精度要求不高，“雨滴”又量大易得，蒙特卡洛法的优势就体现出来了。例如卢瑟福通过著名的α粒子散射实验揭示了原子的复杂结构，就是用到了这一方法的思想。

现在的人们都知道原子是由居于中心的原子核和电子组成的，其中原子核只占原子极小的体积。但即使利用最先进的显微镜，也看不到原子核。那么又是如何知道这一结果的呢？卢瑟福正是巧妙地利用了蒙特卡洛法的思想，不过他把雨滴换成了小得多的α粒子。他发现，射向金原子的α粒子，只有八千分之一发生了大角度偏转，似乎打中了什么东西。通过对偏转角、电荷和质量的计算，他甚至得出了原子核的尺寸，与现代公认的尺寸比较接近。不通过直接观测，就测定出原子核尺寸，确实是令人赞叹的。

很多科研和工程上看似复杂的问题，其实换个思路，化整为零就可以实现。不可预测的概率虽然有一点点难以捉摸的脾气，但是在网络大数据面前，不可预知的往往不可避免的会莫名其妙的缴械投降。不论是蒲丰投针，还是复杂图形面积的蒙特卡洛法计算，都是对概率最好的应用。

（编辑：汽车网）

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